Penurunan Persamaan Black-Scholes Menggunakan Prinsip Delta-Hedging

Src: theguardian[dot]com

Model Black-Scholes merupakan suatu persamaan diferensial parsial (PDP) yang mendeskripsikan pergerakan harga opsi. Seperti yang kita ketahui, opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak yaitu pemegang dan penerbit dimana pemegangnya memiliki hak untuk membeli (untuk opsi call) atau menjual (untuk opsi put) sejumlah aset pada harga tertentu di masa mendatang. Sebagai suatu produk turunan (derivatif), harga opsi bergantung pada harga aset yang mendasarinya.

Saat penerbitan opsi, pemegang dan penerbit tidak mengetahui secara pasti harga aset di masa mendatang karena harga aset bergerak secara stokastik. Oleh karena itu, penerbitan opsi disertai pembayaran dari pemegang ke penerbit sejumlah $v_0$ sebagai ganti risiko kerugian bagi penerbit sekaligus potensi keuntungan bagi pemegang. Lebih umum, $v_0$ adalah nilai $v(t, x_t)$ saat $t=0$, yaitu $v_0 = v(t, x_t) \bigr\rvert_{t=0} = v(0, x_0)$, dimana $v(t, x_t)$ adalah solusi PDP Black-Scholes. Selanjutnya diturunkan model Black-Scholes menggunakan prinsip delta-hedging.

Sebelumnya diberikan beberapa asumsi berikut:

1. Pergerakan harga aset $x_t$ mengikuti geometric Brownian motion: \begin{equation} dx_t = (\bar{\mu} - q) x_t dt + \bar{\sigma} x_t dW_t, \tag{1} \label{eq:dx} \end{equation} dimana $\bar{\mu}$ adalah konstanta tingkat pengembalian yang diharapkan, $\bar{\sigma}$ adalah konstanta volatilitas, $q$ adalah yield dari dividen, dan $W_t$ adalah Brownian motion;
2. Tingkat bunga bebas risiko $r$ bernilai konstan;
3. Tidak ada biaya transaksi atau pajak;
4. Pasar bersifat bebas arbitrase (arbitrage-free).

Pertama dibangun suatu portofolio \begin{equation} \Pi_t = v(t, x_t) - \delta x_t \end{equation} sedemikian hingga portofolio tersebut bebas risiko pada selang waktu $(t, t+dt)$ dimana $\delta$ menyatakan bagian/shares dari aset. Dengan mempertimbangkan dividen $q$, maka nilai portofolio pada waktu $(t + dt)$ adalah \begin{equation} \Pi_{t+dt} = v(t + dt, x_{t + dt}) - \delta x_{t + dt} - \delta q x_t dt. \end{equation}

Jika $\delta$ tidak berubah pada selang waktu $(t, t+dt)$, maka syarat agar $\Pi$ bebas risiko adalah bunga/return dari portofolio pada waktu $(t+dt)$ haruslah \begin{equation} \dfrac{\Pi_{t+dt} - \Pi_t}{\Pi_t} = rdt, \end{equation} \begin{equation} \left(v(t+dt, x_{t+dt}) - \delta x_{t+dt} - \delta q x_t dt\right) - \left(v(t, x_t) - \delta x_t \right) = r \Pi_t dt, \end{equation} \begin{equation} dv(t, x_t) - \delta dx_t = r\left[v(t, x_t) - \delta x_t\right] dt + \delta q _t dt . \tag{2} \label{eq:2} \end{equation}

Berdasarkan Formula Ito terhadap persamaan \eqref{eq:dx} diperoleh: \begin{equation}\begin{split} dv(t, x_t) =& \biggl(\dfrac{\partial v}{\partial t}(t, x_t) + \dfrac{1}{2}\bar{\sigma}^2 x_t^2\dfrac{\partial^2v}{\partial x^2} (t, x_t) + (\bar{\mu} - q) x_t \dfrac{\partial v}{\partial x}(t, x_t) \biggr) dt \\ &+ \bar{\sigma} x_t \dfrac{\partial v}{\partial x} (t, x_t) dW_t.  \end{split} \tag{3} \label{eq:dv} \end{equation}

Substitusi persamaan \eqref{eq:dx} dan \eqref{eq:dv} pada persamaan \eqref{eq:2} menghasilkan: \begin{equation}\begin{split} \biggl(\frac{\partial v}{\partial t} (t, x_t) & + \frac{1}{2}\bar{\sigma}^2x_t^2 \frac{\partial^2v}{\partial x^2} (t, x_t) + (\bar{\mu} - q) x_t \frac{\partial v}{\partial x} (t, x_t) - \delta (\bar{\mu} - q) x_t \biggr)\ dt  \\ & + \biggl(\bar{\sigma} x_t \frac{\partial v}{\partial x} (t, x_t) - \delta\bar{\sigma} x_t \biggr)\ dW_t  = \left[rv(t, x_t) - r \delta x_t + \delta q x_t \right] dt \end{split} \tag{4} \label{eq:hasil_subs} \end{equation}

Karena ruas kanan persamaan bebas risiko, maka koefisien dari suku acak $dW_t$ pada ruas kiri persamaan haruslah nol. Oleh karena itu dipilih \begin{equation} \delta = \frac{\partial v}{\partial x} (t, x_t). \tag{5} \label{eq:delta} \end{equation}

Substitusi persamaan \eqref{eq:delta} pada persamaan \eqref{eq:hasil_subs} menghasilkan: \begin{equation}\label{eq:PDE_black_scholes_aset_tunggal} \frac{\partial v}{\partial t} (t, x_t) + \frac{1}{2} \bar{\sigma}^2 x_t^2 \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} (t, x_t) + (r - q) x_t \frac{\partial v}{\partial x} (t, x_t) - rv(t, x_t) = 0, \end{equation} yang disebut persamaan diferensial Black-Scholes aset tunggal. Sampai disini kita telah menurunkan PDP Black-Scholes menggunakan prinsip delta-hedging.

Formula Ito. Misalkan $W_t$ adalah Brownian motion yang didefinisikan atas ruang probabilitas $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ dan $x_t$ adalah proses stokastik yang memenuhi persamaan diferensial stokastik (PDS) berikut \begin{equation} dx_t = \mu(t, x_t) dt + \sigma(t, x_t) dW_t, \end{equation} dimana $\mu: [0, \infty) \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\sigma: [0, \infty) \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi yang diketahui. Jika $v \in C^{1,2}([0, \infty) \times \mathbb{R}, \mathbb{R}])$, yaitu $v:[0, \infty) \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ adalah fungsi yang terdiferensial satu kali terhadap variabel pertama dan terdiferensial dua kali terhadap variabel kedua, dengan semua diferensialnya adalah kontinu, maka\begin{equation*}\begin{split} dv(t, x_t) =& \bigg( \frac{\partial v}{\partial t}(t, x_t) + \frac{1}{2} \sigma^2(t, x_t) \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} (t, x_t) + \mu(t, x_t)  \frac{\partial v}{\partial x} (t, x_t)  \bigg) dt \\ &+ \sigma(t, x_t) \frac{\partial v}{\partial x} (t, x_t) dW_t. \end{split}\end{equation*}

Tags: #Finance